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統計量、検定統計量とは何か?統計量の標本分布と標準誤差。

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今回は「統計量」「検定統計量」とは何か?また、「統計量の標本分布」、「標準誤差」とは何かを解説していきます。

【目次】
統計量、検定統計量とは何か?
統計量の標本分布とは何か?
標準誤差とは何か?
まとめ

統計量、検定統計量とは何か?

統計量

統計量とは標本を要約する値です。

統計学での重要用語「母集団」「標本(サンプル)」「パラメータ(母数)」「統計量」」のページでも説明をしていますが、

推計統計学の目的は、持っている標本データから、母集団に関する結論付けをすることです。

仮に、日本の成人男性の平均身長を推定するために、標本として100人の日本人の成人男性を抽出したとします。

この場合、統計量はその100人の男性の平均身長ということになります。

検定統計量

検定統計量とは統計学的仮説検定に利用される統計量のことです。

統計学的仮説検定は、得られたデータ(サンプル、標本)から母集団に関して結論付けをするための手法です。詳しくは「統計的仮説検定、推定、信頼区間とは何か?(専門用語を使わない編)」を参照してください。

例えば、統計学的仮説検定を利用して、日本人の成人男性の平均身長が170cm以上であると結論付けることができるか、検定をしたいとしましょう。

仮説検定において研究者が結論付けたい仮説のことを「代替仮説(Alternative Hypothesis)」と呼び、H_aまたはH_Aと書きます。

ここでは、

代替仮説(H_A):日本人成人男性の平均身長は170cmより高い。

ということになります。この代替仮説が正しいことを示すために「帰無仮説」(H_0)を設定し、この帰無仮説が間違っていることを示すことにより、代替仮説が正しいことを結論付けます。

ここでは

帰無仮説(H_0):日本人成人男性の平均身長は170cmである。

となります。

さて、この仮説を検定するために、統計量を少し加工して検定統計量を作ります。

このケースでは、母集団(日本の成人男性全員)の平均身長について結論を導きたいので、

検定統計量 = (統計量-170)/標準誤差*

という数式を利用して、統計量を加工し検定統計量を算出します。

「標準誤差」とは、統計量の標準偏差のことですが、詳しくはこのページ内の「標準誤差とは何か?」セクションで解説します。

※ 検定統計量の算出の公式は、利用する検定によって変わります。ここで紹介をした公式は、母集団の平均値を検定する際に利用されるものです。

このように算出された検定統計量がある一定の大きさであれば、今回の検定において帰無仮説を棄却し、「日本人成人男性全員の平均身長は170cmより高い」という検定仮説が正しいと結論付けることができるわけです。

統計量の標本分布とは何か?

統計量の標本分布(Sampling Distribution)

統計量の標本分布とは統計量の分布のことです。

解説します。
まず、統計量は確率変数です。

確率変数とは何か?」のページで詳しく説明をした通り、確率変数とは「実際に試行、観測を行うまで何の結果が得られるか分からない変数」のことです。

前述のように、日本の成人男性の平均身長を推定するために、標本として100人の日本人の成人男性を抽出したとします。

この100人の平均身長を計算して、例えば統計量が172.5cmだったとしましょう。

次に、また別の標本(100人の日本人成人男性)を抽出したとします。この2つ目の標本から得られる統計量が171cmだったとしましょう。

このように、標本を抽出するごとに、統計量にはばらつきがあります。つまり「統計量は分布する」ということです。この分布を「統計量の標本分布」(Sampling Distribution)と呼びます。

標準誤差とは何か?

標準誤差(Standard Error)

標準誤差とは統計量の標本分布の標準偏差のことです。

上述のように統計量は毎回、標本を抽出するたびにばらつきがあります。

例えば、サイズ100の標本を10000個抽出したとします。10000個の標本からそれぞれの統計量を計算すると、以下のようになったとしましょう。

標本1 172.5cm
標本2 171.0cm
・・・ ・・・
標本10000 170.0cm

この10000個の統計量の標準偏差を計算すると、大体の標準誤差がわかります。(正確には公式を用いて算出することができます。)

まとめ

・統計量は、標本を要約する値であり、母集団から別の標本を抽出する度に数値にばらつきがある確率変数である。
・統計量の分布を「標本分布」と呼び、その標準偏差を「標準誤差」と呼ぶ。

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