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カイ二乗分布とは何か?確率密度関数、期待値、分散、カイ二乗検定。

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【目次】

カイ二乗分布の定義と例
カイ二乗分布のグラフ
カイ二乗分布の確率密度関数、期待値、分散
カイ二乗分布を使った検定
練習問題
練習問題回答

カイ二乗分布の定義と例

カイ二乗分布({\chi}^2分布,Chi-squred distribution)とは、独立性検定などの統計学的検定によく利用される分布で、(自由度が極端に大きくならない限り)右に歪んだ分布です。

カイ二乗分布の定義は以下のようになります。

カイ二乗分布の定義

確率変数Z1,Z2,・・・,Znが独立で、それぞれに標準正規分布に従うとき、Xを

X=\Sigma_{i=1}^{n}Z^2_i

とすると、Xは自由度nのカイ二乗分布に従う。またXが自由度nのカイ二乗分布に従うことを

X\sim\chi_{n}^2

と表す。

早速、例を見てみましょう。

確率変数Z1,Z2,Z3,Z4が独立で、それぞれ標準正規分布に従うとします。確率変数Xを

X=Z_{1}^2+Z_{2}^2+Z_{3}^2+Z_{4}^2

と定義すると、Xは自由度4のカイ二乗分布に従います。

これが成り立つことをシュミレーションで確かめて見ましょう。

まず、それぞれ独立のZ1,Z2,Z3,Z4を標準正規分布からRを利用してランダムに抽出して見ます。

なお以下のコードで標準正規分布に従うZ1,Z2,Z3,Z4を1つづつ抽出することができます。

まず1回目は以下の数値が抽出されました。(以下の結果は、実際にはround()関数を利用し、少数第3位までで四捨五入してあります。)

> Z1;Z2;Z3;Z4
[1] -0.841
[1] 1.384
[1] -1.255
[1] 0.07

 
それでは最初のXを計算してみます。

X_1=Z_{1}^2+Z_{2}^2+Z_{3}^2+Z_{4}^2
=(-0.841)^2+1.384^2+(-1.255)^2+0.07^2
=4.203

これを何度も繰り返し、Xがどのような分布を描くか見てみます。

ここでは、3000回繰り返して、以下のように、X1,・・・X3000のヒストグラムを作成しました。

これに自由度4のカイ二乗分布の確率密度関数のグラフを重ねてみます。

Xが自由度4のカイ二乗分布に従っていることが確認できますね。

カイ二乗分布のグラフ

以下のように、カイ二乗分布は自由度が大きくなるほど、より大きな値をとる確率が増えていく右に歪んだ分布です。

またカイ二乗分布は、自由度が無限大に近くに連れて、正規分布に近づきます。

以下に、自由度30、自由度100のカイ二乗分布のグラフを紹介します。


以上のように、自由度30ではまだ、やや右に歪んでいますが、自由度100のカイ二乗分布になると、ほぼ正規分布に見えますね。

カイ二乗分布の確率密度関数、期待値、分散

カイ二乗分布の確率密度関数、期待値E(X)、分散Var(X)

確率変数Xが自由度pのカイ二乗分布に従うとき、つまり

X\sim \chi^2_p

のとき、

・確率密度関数 
f_{X}(x)=\dfrac{1}{\Gamma(p/2)2^{p/2}}x^{(p/2)-1}e^{-x/2}  0\le x \textless \infty

※自由度p=1,2,3,\cdots
※ここで\Gamma()はガンマ関数と呼ばれ、nが自然数のとき、\Gamma(n)=(n-1)!となります。

・期待値
E(X)=p

・分散
Var(X)=2p

 

カイ二乗分布を使った検定

カイ二乗分布は、適合度検定や独立性検定など、検定統計量がカイ二乗分布に従う検定に利用されます。詳しくは「統計学の基礎」の「2変数の独立性の検定(カイ二乗検定)」の中でまとめていこうと思います。

練習問題

Z1,Z2,Z3がそれぞれ独立して標準正規分布に従うとし、確率変数Xを以下のように定義すると、Xはどんな分布に従うか?またXの期待値と分散を求めよ。

X=Z_{1}^2+Z_{2}^2+Z_{3}^2

練習問題回答

・Xは自由度3のカイ二乗分布に従う。
・期待値: E(X)=3
・分散: Var(X)=6


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