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Rコード:Rで母集団の分散、標準偏差を求める方法。

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Rで母集団の分散を求めるには?

Rには母集団の分散を求める関数がデフォルトでありません。
(パッケージなどであるかも知れませんが筆者は知りません。)

通常Rで分散を求める際はvar()関数、標準偏差を求める際はsd()関数を利用しますが、これらはどちらも標本(サンプル)の分散、標準偏差です。

母集団の分散は以下のように、


(1)Var(X)=\sigma^2=\displaystyle{\frac{(X_{1}-\mu)^2+\cdots+(X_{n}-\mu)^2}{n}}

と定義され、各値と母集団平均値の差の2乗をすべて足したものを、母集団の大きさ(n)で割りますが、

標本(サンプル)の分散は以下のように


(2)S^2=\displaystyle{\frac{(X_{1}-\overline{X})^2+\cdots+(X_{n}-\overline{X})^2}{n-1}}

と定義され、各値と標本平均の差の2乗をすべて足したものを、標本の大きさであるn-1で割ります。

Rのvar()関数はこの標本の分散の公式である(2)を利用します。

ですので、与えられているグループを母集団とみなしてその分散を求めたいときは、


Var(X)=\displaystyle{\frac{n-1}{n}\cdot S^2}

このように、var()関数で得られた値に(n-1)/nを掛けます。

母集団の分散を求めるRコード例

10人の男性の体重がX=c(70,65,58,77,90,67,63,73,80,71)と与えられている時、これを標本(サンプル)とみなした場合と、これを母集団とみなした場合の分散は以下のようになります。

> var(X)
 [1] 85.15556

> ((10-1)/10)*var(X)
 [1] 76.64

この10人を標本(サンプル)とみなしたときの分散が85.15556、母集団とみなしたときの分散が76.64と、それぞれに求めることができました。

母集団の標準偏差を求めたい場合は、この求めた母集団の分散の平方根をとるだけです。

> sqrt(((10-1)/10)*var(X))
 [1] 8.754427

母集団の標準偏差は8.754427と求めることができました。


プログラミングとソフトウェア

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